[tema]SISTEMES DE NUMERACIÓ

Publiquem unes valuoses notes sobre els sistemes de numeració escrites per Enrique Gracián. Hi trovareu un filó de sorpreses, informacions i curiositats. I una visió profunda i original de la història de les matemàtiques.

SABER CONTAR

El concepto de número, que se aprende en la infancia, es uno de los procesos de aprendizaje más difíciles que realiza un ser humano a lo largo de toda su vida.

La forma más primitiva de contar consiste en comparar uno a uno los objetos que forman dos colecciones de objetos. Si un pastor quiere controlar el número de ovejas que hay en su rebaño puede coger una bolsa y poner en ella una piedra por cada oveja que tiene. Cuando al acabar el día las ovejas vuelvan al redil no tiene más que sacar de la bolsa una piedra por cada oveja que entra. Si al finalizar le queda alguna piedra en la bolsa es que ha perdido alguna oveja. Para contar de esta forma, los hombres primitivos han utilizado cualquier objeto que se adecuara al sistema, piedras, palos, conchas, muescas en un trozo de madera, nudos en cuerdas o marcas en la arena. Era un sistema simple pero eficaz, siempre y cuando no se tratara de grandes números. Sin embargo, la percepción directa de un número no puede pasar de cuatro. Para poder decir que el hombre primitivo había realmente captado la esencia del número se tenían que dar otro tipo de relaciones.

CANTIDAD

El proceso mediante el cual el hombre primitivo llega al concepto abstracto de número es largo y difícil. En el hecho de utilizar objetos tan diversos como piedras o palos o incluso diferentes dibujos figurativos se encuentra el germen de un primer concepto importante que es el de número cardinal. Es decir, que la naturaleza de los objetos que utilizan para contar no desempeña ningún papel en el hecho de numerar. Para contar diez ovejas da lo mismo que se utilicen palos, marcas en la arena o los dedos de las manos. El número se convierte así en una abstracción.

ORDEN

El paso siguiente en la concepción abstracta del número es el concepto de orden: saber que puede existir un primero, un segundo, un tercero, etc. Esta idea, que surge de forma natural cuando una colección cualquiera de objetos se ponen en fila o simplemente uno al lado del otro y se corresponde con el concepto de número ordinal. Sin embargo, cuando se cuenta una colección de objetos es importante tener en cuenta que el proceso es totalmente independiente del orden en el que observa dichos objetos; lo realmente importante es el último objeto numerado, que es el que nos va a dar el número cardinal que representa a la colección.

• Los Damara, una tribu Bantú del Africa subecuatorial, cuentan cogiendo con una mano los dedos de la otra. Este sistema no les permite contar más allá de cinco. Sin embargo, nunca pierden una cabeza de ganado, no porque las cuenten, sino porque encuentran a faltar una cara conocida.

• En el reino animal se encuentran numerosos ejemplos de especies con capacidad para contar con precisión. Las avispas solitarias, por ejemplo, son capaces de contar el número de orugas vivas que dejan como alimento en las celdillas en las que han puesto los huevos. Lo hacen siempre con un número exacto de 5, 12 o 24.

• Los romanos les ponían nombre propio a sus hijos, paro sólo hasta el cuarto, a partir de éste los numeraban: quintus (quinto), sextus (sexto), octavius (octavo), décimus (décimo). En el caso de familia numerosa no era raro que a un hijo le tocara llamarse Numerius (numeroso).

• Utilizar las falanges de los dedos de las manos para contar ha sido un método ampliamente utilizado entre los pueblos asiáticos. De esta forma se puede contar, entre las dos manos, hasta 28. En China era frecuente que las mujeres llevaran un control de su ciclo menstrual atándose un pequeño lazo en la falange correspondiente.

• Los Papues de Nueva Guinea se tocan diversas partes del cuerpo para indicar un número. Empiezan por tocar el dedo meñique de la mano derecha para indicar el número uno, a partir de aquí recorren todos los dedos, luego la muñeca, el codo, el hombro, la oreja, nariz y boca, para pasar entonces a la oreja derecha y continuar el recorrido hasta acabar en el dedo meñique de la mano izquierda que corresponderá al número 22.

EL SISTEMA POSICIONAL

Estamos habituados a dar el valor “cuatrocientos” al 4 que se encuentra en la expresión 2461, el valor “cuarenta” si la expresión es 1648 o “cuatro mil” si se trata de 4892. Esta facilidad con la que percibimos el cambio de valor de la cifra 4 según la posición en que se encuentre, es el resultado de uno de los inventos más importantes de la historia de la humanidad, los sistemas de numeración posicionales.
En un sistema de numeración que no sea posicional, el símbolo que representa a un número tiene el mismo valor sea cual sea la posición que ocupe. Por ejemplo, en el sistema de numeración romano el número cinco, que viene representado por la letra V, tiene el mismo valor en las expresiones XV, XVI o VII, en cambio, en nuestro sistema de numeración el número 5 valdría cinco unidades en el primer caso, cincuenta en el segundo y quinientos en el tercero.

AGRUPAR NÚMEROS

Aunque en un principio el número de objetos a contar sea de un tamaño moderado, es fácil que aparezca la necesidad de enumerar colecciones de centenares o miles de objetos. (la influencia de los astrónomos en civilizaciones avanzadas fue decisiva en este aspecto) Pero hay que tener en cuenta que el número de palabras de que se dispone en cualquier lenguaje es siempre limitado. Esta economía de lenguaje y una mayor comodidad en la actividad de contar ha llevado a los pueblos primitivos a agrupar las cantidades. La agrupación más elemental es de dos en dos, luego de tres en tres, etc. Hay agrupaciones naturales, como las de cinco en cinco, que corresponden a los dedos de una mano, o de diez en diez si consideramos ambas manos. Esta última fue precisamente la que dio lugar a nuestro actual sistema de numeración decimal, y es que en el agrupamiento de números está el germen de lo que luego serán las bases en los diferentes sistemas de numeración.

NO SIEMPRE DE DIEZ EN DIEZ

Contar huevos es algo que hacemos de 12 en 12 y este es sólo un ejemplo de las diferentes agrupaciones que todavía utilizamos en nuestra vida cotidiana. El idioma francés todavía arrastra huellas del sistema de numeración en base 20 (dedos de las manos y de los pies) cuando para decir, por ejemplo, 83 dice “quatre-vingt-trois”, cuatro veces veinte más tres. Otro ejemplo lo tenemos en el sistema que adoptamos para designar numéricamente el paso del tiempo o la medida de ángulos, en el que se utiliza la base sesenta (procedente del sistema de numeración de los babilonios) agrupando los segundos de sesenta en sesenta para hacer un minuto, y estos de sesenta en sesenta para obtener una hora.

• Los pigmeos de África utilizan un sistema de numeración en agrupaciones de tres: para los tres primeros números usan las palabras a (1), oa (2) y ua (3), a partir de aquí se van repitiendo: oa-oa (4), oa-ua (5), ua-ua (6).

• En las tribus primitivas americanas se han llegado a encontrar hasta 307 sistemas de numeración diferentes, de los cuales 146 forman agrupamientos de 10, 106 agrupamientos de 5 y de 10, 81 que son binarios (agrupamientos de 2), 35 en agrupamientos de 5 y de 20, 15 a agrupamientos de 4, 3 a agrupamientos de 3 y únicamente uno que utilizó la base 8.

• Los chinos siguen utilizando la misma grafía para los números que crearon hace más de seis mil años, que se basa en trece signos fundamentales y que corresponden a caracteres de su escritura. En ocasiones, estos caracteres adquirían una forma especial, los llamados “gán-mà-zi” o “marcas secretas” utilizados en criptografía y con lo que hasta no hace mucho algunos comerciantes marcaban el precio de sus mercancías.

Números romanos: A pesar de no ser un sistema de numeración posicional, el sistema de numeración romano arraigó fuertemente en la tradición europea. Aún hoy en día es utilizado para referirse a los siglos o para eventos de los que se quiere magnificar de alguna forma, como es el caso de la olimpíadas o de algunos certámenes.

Inscripciones cuneiformes: (Tabla de terracota del 2400 antes de J. C.) En Babilonia el sistema de numeración fue creado por matemáticos y astrónomos 2000 años antes de J. C. y está considerado como el más avanzado de la Antigüedad. Era un sistema de numeración posicional que utilizaba sólo dos cifras con aspecto de cuña (de ahí el nombre de cuneiforme): un clavo vertical representaba al número 1 y una espiga horizontal al número 10.

Inscripciones egipcias: Los egipcios tenían un sistema de cifras con el que podían llegar a superar hasta el millón. Para los 9 primeros números utilizaban grupos de líneas, para las decenas una U invertida y una espiral para las centenas. Para cantidades mayores utilizaban diversos jeroglíficos, como, por ejemplo, el hombre sentado y con los brazos abiertos hacia el cielo que representa el millón.

Inscripciones griegas: La invención del alfabeto llevó a muchas culturas, como la griega o la hebrea, a utilizar las letras para representar números, utilizando la ordenación ascendente del alfabeto. Esto presentaba el inconveniente, en algunos casos, que no se pudiera distinguir entre una palabra y un número.

LAS PRIMERAS CIFRAS

El sistema de numeración que utilizamos actualmente es un invento equiparable al del fuego, la rueda o la energía del vapor, inventos todos ellos que cambiaron radicalmente nuestra forma de vivir.

EL CERO

En un sistema de numeración posicional puede leerse el número 425 como “cinco-dos-cuatro” sin que esto lleve a errores de ningún tipo. Sin embargo, con este método un número como el 405 se leería como “cinco-cuatro” que es el vocablo para designar 45. Los sabios hindúes salvaron el obstáculo acuñando una nueva palabra: “sunya”, cuyo significado literal es “el vacío”. De esta forma, el número 405 ya podía leerse como “cinco-vacío-cuatro”. Estos sabios acababan de inventar el número “cero”, concepto que anteriormente ya habían establecido los babilonios y posteriormente los mayas.

EL SISTEMA DECIMAL INDIO

El sistema decimal de numeración que utilizamos hoy en día y sus reglas básicas de cálculo nacieron en el norte de India en el siglo V de nuestra era. Para que un invento de estas características, considerado como uno de los más revolucionarios en la historia de la humanidad, se pudiera dar fue necesario que coincidieran tres conceptos clave: poseer un sistema de cifras que indicaran las unidades del 1 al 9 y que estuvieran desvinculadas de cualquier intuición gráfica, un sistema de numeración posicional y el descubrimiento del cero. De esta forma el número 1704 significaba “cuatro unidades, ninguna vez diez, siete veces cien y una vez mil”.

CÁLCULOS Y CUENTAS

Cálculo viene del latín (calculus) que quiere decir piedra pequeña, que eran las que se empleaban para enseñar a los niños a contar. Hacerles agujeros y colocarlas en un hilo o alambre (las “cuentas” de un collar) parece un proceso natural para facilitar el cálculo. Es lo que se hace en las salas de billar para llevar la cuenta de las carambolas o en el rosario para contabilizar las oraciones. Un instrumento de estas características sólo servía para hacer un “recuento”, pero acabaría por convertirse en una auténtica calculadora con el nacimiento del ábaco.

EL ABACO

El ábaco chino se basa en un bastidor de madera con una serie de varillas en las que se insertan siete bolas en cada una. Una barra transversal divide al ábaco en dos partes, dejando en cada varilla dos bolas en la parte superior y cinco en la inferior. El cómputo se basa en un sistema decimal, de forma que cada varilla tiene un valor diez veces superior a la varilla de su izquierda. Con este simple instrumento se pueden efectuar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracción de raíces cuadradas o cúbicas.

• En la Francia del siglo XIII tachar a alguien de “Cifra de Angorismo”, es decir, llamarle “cero”, estaba considerado un insulto más grave que decirle simplemente imbécil.

• A finales de 1946 tuvo lugar en Tokio una competición de cálculo entre Kiyoshu Matzukai un oficial contable japonés experto en el uso del Ábaco y una computadora de la época durante dos días completos. El resultado fue de 4 a 1 a favor del abacista, que falló en las multiplicaciones.

• Actualmente el antiguo ábaco se emplea como método de enseñanza en las escuelas de los países orientales, aunque es usado regularmente en muchos de lugares del mundo, particularmente en los pequeños negocios de los barrios chinos.

• Un ábaco chino de 15 tiras tiene una capacidad numérica de mil billones de cifras.

• La primera calculadora portátil de la historia data del siglo I antes de J. C, la utilizaban los romanos y consistía en un ábaco construido en una pequeña tabla metálica en la que había unas ranuras paralelas por las que podían deslizarse un conjunto de bolitas de igual tamaño.

El cero, un invento genial - Los árabes habían traducido la palabra sánscrita “Sunya” por Sirf, que también significaba “el vacío”, pero cuando en el siglo XII se introdujo el cero en Occidente, el término árabe se latinizó adquiriendo diversas modalidades como Sifra, cifra, Cifra o Tzyphra. Sin embargo en el mundo cristiano se le llamó, durante mucho tiempo, el “Número infiel". Actualmente la mayoría de las lenguas occidentales utilizan el término cifra para designar a cualquiera de los signos de la numeración escrita. En castellano se utiliza la palabra “cero”, que proviene del italiano, zero, que significa “nulidad”.

Tener un sistema de numeración es un primer paso para poder contar, pero algo del todo insuficiente para el desarrollo de una cultura si no posee, además, un método de cálculo eficaz.


En la Edad Media las operaciones elementales que cualquier niño de hoy en día haría en cuestión de minutos, suponían procesos de cálculo de varías horas llevados a cabo por especialistas. A un calculador profesional que mostrara habilidad con la fichas del ábaco se le llegaba a considerar como un mago dotado de poderes casi sobrenaturales.

UN PRIMER INTENTO

El monje francés Gebert d’Aurillac, que el año 999 sería nombrado papa con el nombre de Silvestre II, fue el primero en introducir en Europa el sistema de cifras indo-árabes, pero la resistencia a una innovación de estas características era demasiado fuerte para una época en la que el conocimiento estaba en manos de un clero fuertemente arraigado en la tradición romana. A lo máximo que pudo aspirar Gebert fue a que en cada una de las columnas del ábaco el número de fichas fuera sustituido por una única ficha con un número individual. De esta forma, para representar en el ábaco el número 7052, se colocaba la ficha con el número “2” en la columna de las unidades, la ficha con el número “5” en la de las decenas, no se colocaba ninguna ficha en la de las centenas y, por último una ficha con el número “7” en la columna de los millares. De esta forma el número “cero” había quedado fuera de juego y el valor algebraico de las cifras era totalmente inoperativo.

EL PRIMER LIBRO DE TEXTO

Al matemático italiano Fibonacci (ca. 1200-1256) se adjudica el mérito de haber introducido en Europa los métodos de cálculo de los árabes. Hijo de un mercader italiano, recorrió junto a su padre y su maestro árabe, Egipto, Grecia, Siria y Sicilia. Comparando todos los sistemas de numeración llegó a la conclusión de que los métodos indios de cálculo eran los mejores de todos. Resumió sus conocimientos en un célebre libro que se titulaba “Liber abaci” dividido en quince capítulos. En él se establecen los nueve símbolos indios que designaba a los nueve primeros números, así como al cero o zephirum (latinización de la palabra árabe sirf).

EL DEMONIO DE LAS CIFRAS

En principio parecería contradictorio el haber titulado “El libro del ábaco” a un texto en el que se explican métodos de cálculo mediante el uso de las cifras árabes, pero Fibonacci era muy consciente de la oposición que su libro iba a tener por parte de los abacistas. Aún así, muchos de los que aprendieron y llevaron a la práctica su método, los que acabarían llamándose “algoristas”, se verían, antes de que el método llegara a instaurarse completamente, envueltos en conflictos tan graves que en ocasiones ponían en juego su propia vida, ya que para los abacistas tradicionales, un método de cálculo tan eficaz y sencillo sólo podía estar inspirado directamente por Satanás.

• En las épocas más oscuras de la cultura europea, las cifras eran consideradas como los signos misteriosos de una “escritura secreta”, de ahí que, actualmente, aún se siga llamando a los mensajes codificados “mensajes cifrados”. Aunque hablando con propiedad, debería llamarse cifrados a aquellos mensajes en los que las letras han sido 3.
  sustituidas por números.

• Cuando en Europa se introdujeron las primeras cifras árabes en las columnas de los ábacos, los “abacistas” puros las volvieron a sustituir por números romanos. No podían permitir la presencia de aquellos “signos diabólicos con los que Satanás había pervertido a los árabes”

• Seis siglos después de la muerte de Silvestre II, la Iglesia mandó abrir su tumba para comprobar si todavía permanecían en ella los demonios que le habían inspirado la ciencia sarracena de los números.

• En la Edad Media, si un padre quería que su hijo llegara a ser un buen calculista debía costearle un largo viaje de estudios por Europa. Si el joven que quería especializarse en el “cálculo” debía estudiar en universidades alemanas o francesas si lo que quería era aprender a sumar o restar, pero debía acudir a las escuelas italianas si lo que ambicionaba era aprender a multiplicar y dividir.

Pitágoras creía que el número era la esencia de todas las cosas, que los números eran los que regían la vida de los hombres. Actualmente se podría afirmar que dos números, el 0 y el 1, controlan gran parte de nuestra sociedad por medio de programas informáticos.

Una vez establecida la base que rige un sistema de numeración contar números es sencillo. En base 10 lo que hacemos es contar hasta nueve

1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9

y a partir de aquí pasar a la siguiente “agrupación”

10, 11,12, 13,...

Cuando escribimos 14, lo que estamos diciendo es “una decena y cuatro unidades”. De la misma forma, 30 quiere decir “tres decenas y cero unidades”. Teniendo en cuenta que

101 = 10
102 = 100
103 = 1000
.....

Los números en el sistema decimal se pueden escribir como potencias de diez:

3547 = 3.103 + 5.102 + 4.101 + 7

EL CERO Y EL UNO

El sistema de numeración más simple que podemos imaginar es aquel en el que sólo se utilizan dos números, el 0 y el 1, que es el llamado sistema binario. Aquí como las agrupaciones son de dos en dos, la sucesión de números naturales se forma de la manera siguiente:
Decimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Binario: 0 ; 1 ; 10 ; 11 ; 100 ; 101 ; 110; 111 ; 1000 ; 1001 ; 1010,...

Aplicando la misma regla anterior para, por ejemplo, el número 10110 tendríamos que

0 + 1.21 +1.22 + 0.23 + 1.24 = 2 + 4 + 16 = 22

de manera que el número 10110 en base dos es equivalente a 22 en base decimal.

EN BASE 16

Las bases pueden ser también superiores a diez. Un ejemplo lo tenemos en la base 16, llamada también hexadecimal. En este caso, como la base es dieciséis serán necesarias más de nueve cifras y lo que se hace es utilizar letras (no deja de ser paradójico que en las postrimerías de nuestra civilización volvamos, como los griegos, letras para indicar números). La equivalencia entre los dos sistemas vendría dada por:


DECIMAL HEXADECIMAL
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 A
11 B
12 C
13 D
14 E
15 F
16 10
17 11
... ...


En este caso el sistema de conversión resulta algo más complejo. Por ejemplo el número que en el sistema decimal viene dado por 20285 en el sistema hexadecimal se representa como 4F3D.

EL LENGUAJE DE LOS ORDENADORES

Aparte de su interés puramente teórico, cabe preguntarse si estos sistemas de numeración pueden tener alguna aplicación práctica. La respuesta es sí. Concretamente, estos tres sistemas que hemos utilizado como ejemplo, el binario, el octal y el hexadecimal, son los que se utilizan en informática. El lenguaje básico de la electrónica es “encendido” o “apagado”, “pasa” o “no pasa” corriente. Los microscópicos dominios magnéticos pueden estar en una dirección de magnetización u otra, hasta el spin de un electrón puede estar orientado hacia “arriba” o hacia “abajo”. En definitiva es una lógica basada en el “si” y el “no”. Cada una de estas dos posibilidades viene representada por un O y un 1, que son los llamados “bits” de información. La arquitectura de ordenadores utiliza el byte, que es la unidad de memoria más usada por los ordenadores y que agrupa ocho bits. Para codificar un número de 8 bits sólo se necesitan dos dígitos hexadecimales. El mayor número expresable por un byte, 11111111(binario), equivale a 255(decimal) y a FF(hexadecimal). Y para palabras de dos bytes (16 bits), se usan sólo cuatro dígitos hexadecimales. Para 32 bits: 8 dígitos hexadecimales, y sucesivamente. Además, para un programador es mucho más fácil utilizar y recordar 3E que 00111110

• El googol, número inventado por el matemático E. Cáncer, vale 10100, es decir un 1 seguido de 100 ceros. En realidad no existe un googol de nada, ni siquiera todas las partículas que hay en el Universo llegan a valer una millonésima de millonésima de googol.

• Cuando se asignan letras para representar a los números, como en los antiguos sistemas de numeración griego y hebreo, existe una cierta probabilidad de que un número represente una palabra. Hay quien ha visto en estas coincidencias mensajes ocultos. La cábala es un libro mágico basado en este hecho.

• Números palíndromos son aquellos que se pueden leer igual por la izquierda que por la derecha. Una forma harto curiosa de obtener uno de tales números es realizando la siguiente multiplicación: 123456789 x 99999999 que da ni más ni menos que el siguiente palíndromo: 12345678987654321

• En los albores del siglo XXI, en la plena expansión de la informática, el ministro de Hacienda inglés recibe todavía el nombre de “Canciller del Tablero”, título que pone de manifiesto su gran habilidad para hacer cálculos con el ábaco.

• El I Ching es un antiguo método de adivinación chino basado en 64 figuras que se forman con la combinación de seis hexagramas. Cada uno de ellos está formado a su vez por la combinación de dos líneas básicas: una línea continua y una línea partida. A Leibnitz se le ocurrió la posibilidad de que esto fuera la representación de un sistema binario. Asignó el valor 0 a la línea discontinua y el valor 1 a la continua. La sorpresa vino cuando al pasar los seis primeros diagramas al sistema decimal se encontró con la serie de los seis primeros números.

Enrique Gracián